Τετάρτη 16 Νοεμβρίου 2011

Οι Διαδοχικοί Αριθμοί

Το άθροισμα επτά αλληλοδιαδόχων αριθμών ισούται με 126. Ποιοι είναι οι διαδοχικοί αυτοί αριθμοί; Υπάρχουν τρεις τρόποι για να λυθεί το πρόβλημα. Να βρεθούν και οι τρεις τρόποι.(Κατ.3/Πρβ. Νο.3)

Λύση


Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α΄Τρόπος Λύσης
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126 (1)
α+α+1+α+2+α+3+α+4+α+5+α+6=126
7α+21=126 --> 7α=126-21 --> α=105/7 --> α=15 (2)
Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)+ (α+5)+(α+6)=126
15+(15+1)+(15+2)+ (15+3)+ (15+4)+ (15+5)+(15+6)=126
Άρα η σειρά είναι:15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
β΄Τρόπος Λύσης
Βάσει του τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2
έχουμε:
Σο= Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
Σο=[(α+τ)*ν]/2-->126=[(α+τ)*7]/2-->
(α+τ)=(126*2)/7=252/7-->(α+τ)=36-->α=(36-τ)(1)
και τ=(36-α)(2)
Από το τύπο τ =[α+[(ν-1)*ω]] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε
το πρώτο και το τελευταίο αριθμό της αριθμητικής σειράς.
τ = Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν
όρο δια να δώσει τον επόμενο.
Αντικαθιστούμε τη (2) στον ανωτέρω τύπο όπου βρίσκουμε το πρώτο όρο
της αριθμητικής σειράς:
τ=[α+[(ν-1)*ω]]-->36-α=[α+[(7-1)*1]]-->36-α=α+6-->
36-6=α+α-->2α=30-->α=30/2-->α=15
Άρα η σειρά είναι 15+16+17+18+19+20+21=126 ο.ε.δ.
γ΄Τρόπος Λύσης
Διαιρούμε το συνολικό άθροισμα με το πλήθος των όρων της σειράς και το
πηλίκο μας δίνει το μεσαίο αριθμό της σειράς, δηλαδή 126:7=18.
Για να συμπληρώσουμε τη σειρά επιλέγουμε 3 αριθμούς προς τ’ αριστερά
κατά τη φθίνουσα σειρά και 3 αριθμούς προς τα δεξιά κατά την αύξουσα
σειρά κι έχουμε: 15+16+17+18+19+20+21 =126 ο.ε.δ.

8 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Ο ένας τρόπος είναι να παίξω με τους στοιχεώδεις αριθμούς 0,1,2....,9 αθροίζοντας 7 διαδοχικούς από αυτούς και έτσι ώστε να προκύπτει αριθμός που τελειώνει σε 6.Αυτό είναι εύκολο.Μετά απλώς προσθέτουμε ένα πολ/σιο του 10 ώστε να μας δίνει 120.Άρα έχουμε 15+16+17+18+19+20+21=126

Ό 2ος τρόπος είναι με τη χρήση αθροίσματος σειρά αριθμητικής προόδου σε διάστημα από n=15 εώς n=21.Αυτό εννοείς?Μου φαίνεται το τύπος του αθροίσματος είναι n*(n+1)/2

Tον τρίτο θα τον σκεφτώ...

batman1986

Ανώνυμος είπε...

Βασικά στον 2ο τρόπο ήθελα να πω πως βγάζεις τους όρους από τον τύπο της ακολουθίας.Σόρρυ

batman1986

Papaveri είπε...

@batman1986
Μπράβο,βρήκες τους δύο τρόπους.
Ο τύπος της αριθμητικής προόδου είναι:
Σο=[(α+τ)*ν]/2
Σο=Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου.
α=Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
τ=Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν=Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.

Ανώνυμος είπε...

Ο 3ος τρόπος είναι να διαιρέσουμε με 7 και βλέπουμε πως το αποτέλεσμα είναι 18 .Κρατάμε το 18 ως "μέσο" και φτιάχνουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους 3 διαδοχικούς.Έχουμε 18+18=19+17=16+20=15+21=36
Αρα 18*7=18+3*36=18+(19+17)+(16+20)+(15+21)=126

Τον θεωρείς διαφορετικό ή να ψάξω άλλο τρόπο?

batman1986

Papaveri είπε...

@batman1986
Όχι, δεν χρειάζεται να ψάξεις γι' άλλο τρόπο. Αυτός ήταν ο τρίτος.

Ανώνυμος είπε...

Ως τρίτο τρόπο προτείνω τον παρακάτω:
Έστω ν ο τέταρτος κατά σειρά (ο μεσαίος δηλ).
Τότε οι επτά διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί σε διάταξη είναι:
ν-3, ν-2, ν-1, ν, ν+1, ν+2, ν+3
Επειδή το άθροισμά τους δίδεται
120 προκύπτει η εξίσωση:
ν-3 + ν-2 + ν-1+ν+ν+1+ν+2+ν+3=126
ή 7ν=120 ή ν=126/7 ή ν=18
Οπότε οι αριθμοί είναι:
15, 16, 17, 18, 19, 20, 21
N.Lntzs

Papaveri είπε...

@N.Lntzs
Ο τρόπος της δικιάς σας λύσης είναι μια παραλλαγή του τρίτου τρόπου λύσης που παραθέτω, ο οποίος είναι πολύ σωστός και σύντομος.

Ανώνυμος είπε...

Έχεις δίκιο.
Δεν πρόσεξα ότι είχε αναρτηθεί η Λύση
Ν. Lnts

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes