Οι «Μπάλες» του Κανονιού

 Ένας Φιλέλληνας κατά τη διάρκεια της Επανάστασης του 1821 αγόρασε και έφερε με πλοίο στο λιμάνι της Καλαμάτας όπλα και πολεμοφόδια. Μεταξύ άλλων υπήρχε ένα κανόνι και «μπάλες» για να τις εκτοξεύει, συσκευασμένες σε βαρέλια ανά 30. Για να μεταφερθούν στο κάστρο της πόλης χρησιμοποιήθηκαν καλάθια, που στο καθένα έβαλαν 12 «μπάλες» και τα φόρτωσαν σε γαϊδουράκια. Τα καλάθια ήταν 15 περισσότερα από τα βαρέλια. Πόσες ήταν οι «μπάλες» του κανονιού και πόσα τα βαρέλια;
(Κατ.34/Πρβλ. Νο.486)
Πηγή:mathslife.eled

Λύση

Πρώτος τρόπος λύσης
Τοποθετώντας από κάθε κιβώτιο μόνο τις 12 μπάλες σε ένα καλάθι,
σε κάθε κιβώτιο περίσσεψαν: 30 – 12 = 18 μπάλες. Οι μπάλες, που
περίσσεψαν από όλα τα κιβώτια, τοποθετήθηκαν στα 15 επιπλέον
καλάθια.Στα καλάθια αυτά τοποθετήθηκαν:
15 x 12 = 180 μπάλες.
Άρα τα κιβώτια ήταν: 180 : 18 = 10.
Και οι μπάλες ήταν: 10 x 30 = 300.
Δεύτερος τρόπος λύσης
Είναι 30 = 2 x 12 + 6, άρα από τις μπάλες κάθε κιβώτιου
γέμισαν δύο καλάθια και περίσσεψαν 6 μπάλες.
Επομένως κάθε δύο κιβώτια γέμισαν 5 καλάθια (4 καλάθια και 12
μπάλες). Δηλαδή για κάθε δύο κιβώτια χρειάστηκαν 5 – 2 = 3
επιπλέον καλάθια. Άρα, αφού συνολικά χρειάστηκαν 15 επιπλέον
καλάθια, τα κιβώτια ήταν:
15 : 3 = 5ζευγάρια ή 10 κιβώτια.
Και οι μπάλες ήταν: 10 x 30 = 300.
Σημείωση:
Στο συμπέρασμα ότι για κάθε ζευγάρι κιβώτια χρειάστηκαν 5
καλάθια μπορούμε να φτάσουμε και από το ότι 60 = 12 x 5.
Λύση του S.
Τα βαρέλια ήταν 10, τα καλάθια ήταν 25 και οι «μπάλες» του
κανονιού ήταν 300. Έστω ο αριθμός των καλαθιών «α» και ο
αριθμός των βαρελιών «β». Τότε:
12α = 30β (1)
α – β = 15 (2)
Λύνουμε το σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους και προκύπτει:
Από τη συνάγουμε ότι: α=15+β (3)
Αντικαθιστού τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
12α = 30β --> 12(15+β)=30β --> 180+12β=30β --> 30β-12β=180 -->
18β=180 --> β=180/18 --> β=10 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
α=15+β --> α=15+10 --> α=25 (5)
Επαλήθευση:
12α = 30β --> 12*25=30*10 --> 300=300
α – β = 15 --> 25-10=15 ο.ε.δ.