Rebus No.14 (11)

Λύση

Εικονομαχία [Εικον(α)ομαχ(η)ια]

Οι Ομάδες

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία;(Κατ.5/Νο.71)

Πηγή:http://pantsik.awardspace.com/problems/syndyasmvn.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Βάσει του τύπου των συνδυασμών έχουμε: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν), Σ = Σύνολο Συνδυασμών, Δ = Διατάξεις, Μ = Μεταθέσεις, μ = ο αριθμός των παικτών, ν = ο αριθμός των ομάδων, α) Για τη πρώτη ομάδα συνδυασμοί των 20 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(20 5)= Δ(20 5)/Μ(5) --> Σ(20 5)=(20*19*18*17*16)/1*2*3*4*5 --> Σ(20 5)=1.860.480/120 --> Σ(20 5)=15.504, β) Για τη δεύτερη ομάδα συνδυασμοί των 15 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(15 5)= Δ(15 5)/Μ(5) --> Σ(15 5)=(15*14*13*12*11)/1*2*3*4*5 --> Σ(15 5)=360.360/120 --> Σ(15 5)=3.003, γ) Για τη τρίτη ομάδα συνδυασμοί των 10 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(10 5)= Δ(10 5)/Μ(5) --> Σ(10 5)=(10*9*8*7*6)/1*2*3*4*5 --> Σ(10 5)=30.240/120 --> Σ(10 5)=252, δ) Για τη τέταρτη ομάδα συνδυασμοί των 5 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(5 5)= Δ(5 5)/Μ(5) --> Σ(5 5)=5*4*3*2*1/5*4*3*2*1 -->Σ(5 5)=120/120 -->Σ(5 5)=1/1 --> Σ(5 5)=1, Γενικό Σύνολο: Σ(20,5)*Σ(15,5)*Σ(10,5)*Σ(5,5)=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024 διαφορετικοί τρόποι για να χωρισθούν 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία. Το σωστό είναι να διαιρέσουμε το γινόμενο των όλων των δυνατών συνδυασμών όπως σωστά υπολογίσθηκε έως εκεί με το 4! (4 παραγοντικό), γιατί ο αριθμός των ομάδων είναι τέσσερις. Λίγα λόγια γιατί διαιρούμε με το (αριθμός των ομάδων)! Για τον απλούστατο λόγο ότι στο: C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5)=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024,σωστά έως εδώ, η κάθε ομάδα στον συνδυασμό της με άλλες 3, δηλαδή ο κάθε συνδυασμός τεσσάρων ομάδων υπάρχει 4 φορές, άρα για τη 1η ομάδα με τις άλλες 3 διαιρούμε με το 4, για την 2η ομάδα με τις άλλες 2 διαιρούμε με το 3 (με την 1η ήδη υπολογίσθη-κε) , για την 3η ομάδα με την 4η ομάδα διαιρούμε με το 2, και για την 4η ομάδα διαιρούμε φυσικά με το 1, δηλαδή διαιρούμε συνολικά με το 4*3*2*1=4!=24 και τελικά το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να χωρίσουμε 20 παίχτες σε 4 ομάδες των 5 παιχτών είναι: 11.732.745.024/24 = 488.864.376, ουκ ολίγες και έτσι. Μόνο εάν το ζητούμενο ήταν και ο τρόπος που θα παραταχθούν οι ομάδες δεν διαιρούμε με το παραγοντικό του αριθμού των ομάδων. Οι μεταθέσεις 4 αριθμών δεν είναι 4! = 24? Γι’ αυτό ακριβώς τον λόγο διαιρούμε με το 24, διότι στο γινόμενο: C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5) έχουν υπολογισθεί και οι μεταθέσεις των ομάδων σαν ξεχωριστοί διαχωρισμοί.

Rebus No.18 (9, 8)

Λύση

Προεδρικό Διάταγμα [Προ (εδρ(α)ικό) δια (ταγμα)]

Rebus No.6 (8, 2, 7)

Λύση

Διασχίζω τη Θάλασσα [Δια (σχιζω) τη θάλασσα]

Οι Κηπουροί

Τρεις κηπουροί, ο Αποστόλης, ο Βαγγέλης και ο Γιάννης, κουρεύουν κάθε μήνα το γκαζόν ενός μεγάλου κήπου. Αν το κούρευε μόνος του ο Αποστόλης θα έκανε 1 ώρα παραπάνω απ’ ότι κάνουν και οι τρεις μαζί. Αν το κούρευε μόνος του ο Βαγγέλης θα έκανε 5 ώρες παραπάνω και αν το κούρευε μόνος του ο Γιάννης θα έκανε 8 ώρες παραπάνω.
Σε πόση ώρα κουρεύουν το γκαζόν ο Αποστόλης και ο Βαγγέλης μαζί;(Κατ.34/Νο.589)

Πηγή:http://pantsik.awardspace.com/problems/ypologismoy.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω "α" η ώρα που χρειάζεται ο Αποστόλης, "β" η ώρα που χρειάζεται ο Βαγγέλης και "γ" η ώρα που χρειάζεται ο Γιάννης για να κουρέψουν το γκαζόν ,ο καθένας μόνος του αντίστοιχα. Η ώρα που απαιτείται (για συνδυασμένη απόδοση/έργο) για δύο μαζί ,έστω τους Α και Β, είναι ως γνωστόν αβ/(α+β) . Αν έχουμε κι έναν τρίτο, έστω Γ, θα έχουμε {(αβ/(α+β)*γ)/(αβ/(α+β))+γ)} , το οποίο με λίγες απλοποιητικές πράξεις δίνει: Χρόνος των τριών μαζί: αβγ/(αβ+βγ+αγ) (1) Άρα, από τα δεδομένα, έχουμε το σύστημα: α-1 = αβγ/(αβ+βγ+αγ) β-5 = αβγ/(αβ+βγ+αγ) γ-8= αβγ/(αβ+βγ+αγ) Το σύστημα αυτό έχει τις θετικές λύσεις: α=(1/2)*(ρίζα65 -3) β=(1/2)*(5 + ρίζα65) γ= (1/2)* (11+ρίζα65) Ή προσεγγιστικά: α= 2,53113 β=6,53113 γ=9,53113 (ώρες) Άρα η συνδυασμένη απόδοση Α και Β που ζητείται είναι : αβ/(α+β)= 1,82417 ώρες (ή 1 ώρα 49 πρώτα λεπτά και 27 δευτερόλεπτα..) Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «x» οι ώρες που κάνουν και οι τρεις μαζί για να κουρέψουν το γκαζόν. Τότε ο Αποστόλης θα κάνει x+1 ώρες, ο Βαγγέλης x+5 και ο Γιάννης x+8 ώρες. Για μια ώρα ισχύει [1 / (x+1) +1 / (x+5) + 1 / (x+8)] = 1 / x => [(x+5)*(x+8) + (x+1)*(x+8) + (x+1)*(x+5)] / [(x+1)*(x+5)*(x+8)] =1/x => [(x^2+13x+40) + (x^2+9x+8) + (x^2+6x+5)] *x = (x^2+6x+5)(x+8) => x^3+13x^2+40x + x^3+9x^2+8x + x^3+6x^2+5x = x^3+6x^2+5x+8x^2+48x+40 => 3x^3 +(13+9+6=28 )x^2 + (40+8+5=53)*x= x^3 + (6+8=14)x^2 +(5+48=53)x+40 => 2x^3 + 14x^2 – 40 = 0 => x^3 +7x^2 -20 = 0 => x=1.53113 => Αποστόλης: 2.53113 ώρες Βαγγέλης: 6.53113 ώρες Γιάννης: 9.53113 ώρες Αποστόλης και Βαγγέλης κουρεύουν μαζί το γκαζόν σε: x*[1/(α+1)+1/(α+5)]=1 -->x*[1/(1,53113+1)+1/(1,53113+5)=1 --> x*[(1/2,53113)+ (1/ 6,53113)]= 1 --> x*(6,53113+2,53113)=(6,53113*2,53113)*1 --> 9,06226x=16,5311390769 --> x=16,5311390769/9,06226 --> x=1,82417=1 ώρα 49 λεπτά 27 δευτερόλεπτα και 0,84εκατοστά. του δευτερολέπτου

Rebus No.10 (9, 8)

Λύση

Πουλημένα Προϊόντα [(Πουλι) Μ ένα Π (ροι) οντα]

Rebus No.17 (6, 7)

Λύση

Αιγαίο Πέλαγος[(Αιγε(ας)ο (Πελλα)γος]

Rebus Νο.2 (8, 3, 4)

Λύση

Διαβαίνω την Πύλη [Δια β(αινω) την Πύλη]

Το Εμβαδόν

Ένα γκαράζ έχει σχήμα ορθογώνιο με πλάτος 4μέτρα και μήκος 
5μέτρα. Εάν τριπλασιάσουμε το πλάτος του και διπλασιάσουμε το 
μήκος του, τότε πόσο τοις εκατό θα έχει αυξηθεί το εμβαδόν του;
(Κατ.34/Νο.588)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/03/blog-post_3720.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Αρχικό εμβαδόν 4*5=20μ2 Τριπλασιασμός πλάτους 3*4=12μ Διπλασιασμός μήκους 2*5=10μ Νέο εμβαδόν 12*10=120μ2 Ποσοστιαία(%) αύξηση εμβαδού (120-20)/20 = 100/20=5 φορές = 500% ή κατευθείαν {(120-20)/20}*100= 500%

Rebus Νο.1 (3, 5, 3, 7)

Λύση

Δια Πυρός και Σιδήρου [Δια (Υγρό Πυρ)ός και (Σίδηρος)υ]

Το Μήκος

Ποιο είναι το μήκος της ανωτέρω χρυσής αλυσίδας; (Κατ.34/Νο.587)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/03/blog-post_198.html 

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. H απόσταση του αριστερού άκρου κάθε κρίκου, από το αριστερό τού επομένου του εκτός βέβαια του τελευταίου, είναι 8mm και η διάμετρος όλων και κατά συνέπεια του τελευταίου 10mm. Επομένως το μήκος της αλυσίδας (τεντωμένης) είναι: L=[(7*8)+10]=56+10=66mm.

Η Ισότητα

Εάν:

Τότε:

(Κατ.9^η/Α΄/Νο.19)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/03/4a.html

Διαβάστε περισσότερα »

Το Κόστος

Ένα μολύβι, μία γόμα και ένα σημειωματάριο κοστίζουν 1€. Το σημειωματάριο κοστίζει περισσότερο από δύο μολύβια. Τρία μολύβια κοστίζουν περισσότερο από τέσσερις γόμες. Τρεις γόμες κοστίζουν περισσότερο από ένα σημειωματάριο. Πόσο κοστίζει το καθένα από τα τρία; (Κατ.34/Νο.586)

Πηγή?

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. 1Σ>2Μ => 2Μ<1> Μ < ½ Σ => Μ = ½ Σ - α 3Μ>4Γ 3Γ>1Σ => Γ = Σ/3 + β όπου Σ η τιμή του σημειωματάριου, Μ η τιμή του μολυβιού και Γ της γόμας Συνεπώς 1Σ +1/2 Σ – α + 1/3 Σ +β = 1 1Σ +1/2 Σ – α + 1/3 Σ + β =100 (6+3+2)/6 Σ = 100+α-β => 11/6 Σ = 100 + (α-β) Επιλύω για 11/6 Σ = 100 (ως να ίσχυαν ισότητες αντί ανισοτήτων) => Σ= 100*6/11 = 0,5454... άρα (δοκιμή) = Σ =0,55€ ( αφού πρέπει να είναι μεγαλύτερο) Μ =Σ/2- α = 0,275 – α = 0,26€ ( το Μ=0,27 δεν δίνει αποδεκτή λύση) και Γ = 1- 0,55 -0,26 = 0,19€ (0,55/3 + β) Άρα κόστος σημειωματάριου 0,55€, μολυβιού 0,26€ και γόμας 0,19€ Επαλήθευση: 1Σ = 0,55 > 2*0,26 = 0,52 = 2Μ 3Μ = 3*0,26 = 0,78> 0,76 = 4*0,19 = 4Γ 3Γ = 3*0,19* = 0,57 > 0,55 = 1Σ

Το Πλάτος

Δύο βάρκες διασχίζουν ένα ποτάμι από αντίθετες όχθες. Η μια ξεκινάει από την όχθη "Α" και η άλλη από την όχθη "Β". Όταν συναντηθούν για πρώτη φορά βρίσκονται  720μέτρα μακριά από την όχθη "Β". Όταν φτάσουν στις απέναντι όχθες περιμένουν 10λεπτά, για αποβίβαση και επιβίβαση των επιβατών, και διασχίζουν εκ νέου το ποτάμι. Αυτή τη φορά όταν συναντώνται απέχουν 400μέτρα από την όχθη "Α". Πόσο είναι το πλάτος του ποταμού; (Κατ.34/Νο.585)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_7256.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πλάτος του ποταμού είναι 1.760μέτρα. Υποθέτω σταθερές ταχύτητες για κάθε βάρκα , έστω «V» αυτή της πιο γρήγορης και «v» αυτή της πιο αργής, και «α» το ζητούμενο πλάτος του ποταμού. Στην 1η συνάντηση στα 720μέτρα έχουμε: 720/v =(α -720)/V=t (1) t= o χρόνος συνάντησης και προφανώς η γρήγορη (V) κάλυψε τη μεγαλύτερη απόσταση ίση με α-720 Ο συνολικός χρόνος ,έστω t(v), της αργής είναι :α/v(για να περάσει όλο το πλάτος του ποταμού) +10 λεπτά(αναμονή) + 400/v(μέχρι να φτάσει στο 2ο σημείο συνάντησης) t(v) =α/v +10 +400/v και ισούται με τον t(V) της γρήγορης που είναι t(V)=α/V +10 + ( α-400)/V Ισχύει λοιπόν: α/v +10 +400/v = α/V +10 + ( α-400)/V (2) H (2) δείχνει βέβαια ότι εφ’ όσον αναμένουν τον ίδιο χρόνο και οι δύο βάρκες (10 λεπτά) δεν παίζει κανέναν ρόλο αυτός ο χρόνος και θα μπορούσε να είναι τυχαίος. Η (1) γίνεται: 720*V=v*α – 720v ή v/V = 720/(α-720) (3) Από την (2) έχουμε: v/V= (400+α)/(2α-400) (4) Εξισώνοντας τις (3) και (4) έχουμε: (Εδώ πια επιτέλους, αντιλαμβάνομαι ο βραδύνους ότι πήγα από Αθήνα στο χωριό μου (Λαμία) μέσω Σπάρτης, μια και οι (3) και (4) είναι απολύτως προφανείς εξισώσεις που προκύπτουν από την αναλογία λόγου ταχυτήτων και διανυομένων αποστάσεων (οι χρόνοι αναμονής στις όχθες είναι αδιάφοροι) και θα μπορούσα να έχω καταλήξει σ’ αυτές κατευθείαν, αλλά κρίμα είναι να σβήσω όσα έγραψα..):-) Άρα: 720/(α-720) =(400+α)/(2α-400) -->720*((2α-400)=(400+α)(α-720) --> 1.440α-288.000=400α+α^2-288.000-720α --> 1.440α-400α+720α=α^2+288.000-288.000 --> α^2-1.760α=0 --> α^2=1.760α --> (α^2)/α=1.760 --> α=1.760μ.

Τα Κουνέλια

Σε μία φάρμα υπάρχουν 72 κουνέλια. Ο πληθυσμός των κουνελιών στη φάρμα διπλασιάζεται κάθε 8 μήνες. Πριν πόσο καιρό τα κουνέλια ήταν λιγότερα από δέκα; (Κατ.34/Ν0.584)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/blog-post_7831.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Πριν δύο χρόνια ήταν 9 κουνέλια. 8 μήνες πριν τα κουνέλια ήταν 36. 16 μήνες πριν τα κουνέλια ήταν 18. Και 24 μήνες πριν τα κουνέλια ήταν 9.

Η Φάρμα

Στο αγρόκτημα της οικογένειας Παπαδοπούλου υπάρχουν πρόβατα και κότες. Ο κ. Παπαδόπουλος ένα μεσημέρι τα μετράει και βρίσκει συνολικά 40 μάτια και 64 πόδια. Πόσα πρόβατα βρίσκονται στη φάρμα; (Κατ.16/Ν0.17)

Λύση

Υπάρχουν 20 ζώα εκ των οποίων τα 12 είναι πρόβατα. Έστω «x» τα πρόβατα και «ψ» οι κότες. Εφόσον τα πρόβατα και οι κότες έχουν από 2 μάτια, θα ισχύει 2x+2ψ = 40. Επίσης τα πρόβατα έχουν 4 πόδια, ενώ οι κότες έχουν μόνο 2πόδια και έτσι θα ισχύει 4x+2ψ=64. Άρα: 2x+2ψ=40(1), 4x+2ψ=64(2), Από την (1) συνάγουμε ότι: 2x+2ψ = 40 --> 2x=40-2ψ --> 2x=2*(20-ψ) --> x=[2*(20-ψ)]/2 --> x=20-ψ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 4x+2ψ=64 --> 4*(20-ψ)+2ψ=64 --> 80-4ψ+2ψ=64 --> 2ψ=80-64 --> ψ=16/2 --> ψ=8(4) Αντικαθιστούμε την (4) στην (3) κι’ έχουμε: x=20-ψ --> x=20-8 --> x=12 Άρα στη φάρμα υπάρχουν 12 πρόβατα και 8 κότες. Επαλήθευση: 2x+2ψ = 40 -->(2*12)+(2*8)=40 -->24+16=40 4x+2ψ=64 -->(4*12)+(2*8)=64 -->48+16=64

Ο Τοίχος

Θέλουμε να χτίσουμε έναν τοίχο, ορθογωνίου σχήματος, με τούβλα 
διαστάσεων 10cm*20cm. Πόσα τούβλα θα χρειαστούμε για να χτίσου το 
τοίχο, χωρίς να υπάρχει κενό μεταξύ τους; (Κατ.34/Νο.583)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_8185.html

Διαβάστε περισσότερα »

Το Αποτέλεσμα

Εάν:

a²+b²=208

b²+c²=164

c²+a²=244

Τότε:

a²+b²−c²=?

(Κατ.34/Νο.582)

Πηγή:? 

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. a^2+b^2 =208 (1), b^2+c^2=164 (2), c^2+a^2=244 (3), Προσθέτω κατά μέλη (1)+(2) a^2+2b^2+c^2 = 372 Αφαιρώ την (3) => 2b^2 = 372-244 = 128 => b^2 = 64 Προσθέτω κατά μέλη (1)+(3) 2a^2+b^2 +c^2 = 208+244 = 452 Αφαιρώ την (2) => 2α^2=452-164 = 288 => α^2 = 144 Προσθέτω κατά μέλη (2)+(3) a^2+b^2 +2c^2 = 164+244 = 408 Αφαιρώ την (1) => 2c^2 = 408-208 = 200 => c^2 =100 Άρα a^2+b^2- c^2 = 208-100 = 108 Λύση του Papaveri. Η εξίσωση a^2+b^2−c^2=? ισούται με 108. α^2+β^2 =208 (1), β^2+γ^2=164 (2), γ^2+α^2=244 (3), Προσθέτω κατά μέλη 2α^2+2β^2+2γ^2 = 616 Εξάγουμε κοινό παράγοντα το 2 κι’ έχουμε: 2(α^2+β^2+γ^2)=616 --> α^2+β^2+γ^2=616/2 -->α^2+β^2+γ^2=308 (4) Λύνουμε τη (4) ως προς α^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> α^2=308-(β^2+γ^2) (5) Αντικαθιστούμε τη (2) στη (5) κι’ έχουμε: α^2=308-(β^2+γ^2) --> α^2=308-164 --> α^2=144 (6) Λύνουμε τη (4) ως προς β^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> β^2=308-(α^2+γ^2) (7) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (7) κι’ έχουμε: β^2=308-244 --> β^2=64 (8) Λύνουμε τη (4) ως προς γ^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> γ^2=308-(α^2+β^2) (9) Αντικαθιστούμε τη (1) στην (9) κι’ έχουμε: γ^2=308-(α^2+β^2) --> γ^2=308-208 --> γ^2=100 (10) Οπότε η a^2+b^2−c^2 ισούται με: a^2+b^2−c^2=144+64-100=208-100=108 (11) Επαλήθευση: α^2+β^2=208 --> 144+64=208, β^2+γ^2=164 --> 64+100=164, γ^2+α^2=244 --> 100+144=244, Ή α^2+β^2 =208 (1), β^2+γ^2=164 (2), γ^2+α^2=244 (3), Από την (1) συνάγουμε ότι: α^2+β^2 =208 -->α^2=208-β^2 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: γ^2+α^2=244 --> γ^2+208-β^2=244 -->γ^2=244-208+β^2 -->γ^2=36+β^2 (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε: β^2+γ^2=164 -->β^2+36+β^2=164 -->2β^2=164-36 --> 2β^2=128 --> β^2=128/2 -->β^2=64 (6) Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε: γ^2=36+β^2 --> γ^2=36+64 -->γ^2=100 (7) Αντικαθιστούμε την (6) στη1 (1) κι’ έχουμε: α^2+β^2 =208 --> α^2+64=208 --> α^2=208-64 -->α^2=144 (8) Οπότε η a^2+b^2−c^2 ισούται με: a^2+b^2−c^2=144+64-100=208-100=108 (9) Επαλήθευση: α^2+β^2=208 --> 144+64=208, β^2+γ^2=164 --> 64+100=164, γ^2+α^2=244 --> 100+144=244,

Οι Μπάλες

Σε έναν σάκο υπάρχουν 200 μπάλες. Από αυτές το 90% είναι κόκκινες. Πόσες κόκκινες μπάλες πρέπει να αφαιρέσουμε από το σάκο, ώστε οι κόκκινες μπάλες να αποτελούν το 75% του περιεχομένου του σάκου; (Κατ.34/Νο.581)
Πηγή:?

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Οι κόκκινες μπάλες είναι 0,9*200=180 Αφαιρούμε Χ κόκκινες , συνεπώς (180-Χ) / (200-Χ) = 0,75 =. 180-Χ = 150 -0,75Χ => 0,25Χ = 30 => Χ = 30 / 0,25 = 120 Άρα αφαιρούμε 120 κόκκινες μπάλες. Επαλήθευση: (180 - 120 = 60) / (200 – 120 = 80) = 3/4 = 0,75 = 75%

Η Πιθανότητα

Εάν μια λευκή βασίλισσα και ένας μαύρος βασιλιάς τοποθετηθούν σε τυχαίες θέσεις, σε μία άδεια σκακιέρα, ποια είναι η πιθανότητα ο βασιλιάς να είναι υπό απειλή; (Κατ.33/Νο.24)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/blog-post_3334.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Ο δειγματικός χώρος των θέσεων της βασίλισσας για κάθε θέση του βασιλιά είναι 63 τετράγωνα. Υπολογισμός ευνοικών ενδεχόμενων ο βασιλιάς να είναι υπό απειλή. α) Απειλές οριζοντίως - καθέτως Σε όποια θέση και να βρεθεί ο βασιλιάς δέχεται απειλή από 7+7= 14 τετράγωνα Πιθανότητα Πα(υπό απειλή)=14 / 63 β) Λοξές (“διαγώνιες”) απειλές Οι λοξές απειλές δεν είναι σταθερός αριθμός, αλλά εξαρτώνται από την θέση του βασιλιά. Διακρίνω τις παρακάτω περιπτώσεις. β1) Ο βασιλιάς σε περιμετρικό τετράγωνο ή τα 4 γωνιακά, 6*4+4 = 28 τετράγωνα, απειλή από 7 τετράγωνα ανά θέση βασιλιά. Σύνολον απειλών 28*7=196 β2) ο βασιλιάς στα αμέσως παράλληλα τετράγωνα (6+4)*2 = 20 τετράγωνα, απειλή από 9 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 20*9 = 180 β3) Ο βασιλιάς στα αμέσως επόμενα παράλληλα (4+2)*2=12 τετράγωνα, απειλή από 11 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 12*11 = 132 β4) Ο βασιλιάς στα 4 κεντρικά τετράγωνα, απειλή από 13 τετράγωνα. Σύνολον απειλών 4*13 = 52 Σύνολον λοξών (“διαγώνιων”) απειλών 196+180+132+52 = 560 Μέση “διαγώνια” απειλή = 560/64 = 8,75 Πιθανότητα Πβ(υπό απειλή)=8,75 / 63 Συνολική πιθανότητα Π(υπό απειλή) = 14 / 63 + 8,75 / 63 = 22,75 / 63 = 0,3611(36,11%)

Το Κτήμα

Ένας πατέρας χώρισε το κτήμα του με τις ελιές, που έχει σχήμα τετράγωνο, και το μοίρασε στους γιους του δίνοντας ένα ορθογώνιο στον καθένα. Ο μεγάλος περιέφραξε το μοιράδι του με 330μέτρα συρματόπλεγμα με δεδομένο ότι κάθε ρίζα ελιάς απέχει ακριβώς πέντε μέτρα από τη διπλανή της (και το συρματόπλεγμα).Να υπολογισθούν πόσα δέντρα έχει ο μεγάλος γιος του.(Κατ.34/Νο.580)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_2548.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Υπάρχει ένα προβληματάκι στην διατύπωση με την απόσταση δένδρων συρματοπλέγματος., 5 μ Στην περίπτωση των 2 παιδιών, προκύπτει το τετράγωνο 110*110 και τα 2 ορθογώνια 110*55 και δένδρα για το συνολικό κτήμα 21*21. Καλά με το τετράγωνο αλλά στο μοίρασμα ποιος θα πάρει την 11 σειρά ?. Θα την ξεριζώσουν? Θα την πάρουν εξ αδιαιρέτου? Είχε προβλέψει ο πατέρας και δεν είχε φυτέψει δένδρα αφήνοντας κενό απόσταση στη μέση 10 μέτρων? Τα ίδια και χειρότερα στην περίπτωση των 10 υιών.. Απίθανο μεν αλλά δεν αποκλείεται, ειδικά σε μουσουλμανικές χώρες. Θεωρώ ότι δεν υπάρχουν σε αυτές τις σειρές δένδρα, αλλά δίνω και λύση με αποστάσεις δένδρα από δένδρα 5 μ και δένδρα από συρματοπλέγματα 2,5 μ, που έτσι γίνεται στην πράξη από τους καλλιεργητές αγρότες διότι τα 5 ή 5,5 ή κάποιες φορές και 6 μ αφήνονται για να τρέφονται και να υδρεύονται , να φωτίζονται και να αναπνέουν επαρκώς τα δένδρα . Με το όριο αφήνεται η μισή απόσταση διότι είτε το γειτονικό χωράφι έχει δένδρα, θα αφήσει και ο άλλος 2,5 μ άρα 5 μ δένδρο-δένδρο, είτε δεν έχει δένδρα και άρα κανένα πρόβλημα.. Α) δένδρο -δένδρο 5μ δένδρο-συρματόπλεγμα 5μ Έστω Χ η πλευρά του τετραγώνου και Ν ο αριθμός των παιδιών, τότε 2Χ + 2Χ / Ν = 330 μ => Χ = 330*Ν / (2Ν+1) έτσι: για Ν=2 Χ=110, 110/2=55 = 0mod5, δεκτό για Ν=3 Χ=123,75 απορρίπτεται για Ν=4 Χ=132 απορρίπτεται για Ν=5 Χ=137,50 απορρίπτεται για Ν=6 Χ=141,43 απορρίπτεται για Ν=7 Χ=144,38 απορρίπτεται για Ν=8 Χ=146,67 απορρίπτεται για Ν=9 Χ=148,50 απορρίπτεται για Ν=10 Χ=150, 150/10 = 15 = 0mod5, δεκτό Διερευνώ και την περίπτωση η μικρή πλευρά του ορθογωνίου να είναι 10 μ αλλά είναι αδύνατον να προκύψει. Συνεπώς 2 περιπτώσεις υιών, αφού το πρόβλημα δεν αναφέρει αριθμό. α) Ν=2 κτήμα 110*55 άρα δένδρα (110/5 -1)*(55/5 -1) = 21*10 =2 10 β) Ν=10 κτήμα 150*15 άρα δένδρα (150/5-1)*(15/5-1)=29*2 = 58 Β) δένδρο -δένδρο 5 μ δένδρο-συρματόπλεγμα 2,5 μ α) Ν=2 κτήμα 110*55 άρα δένδρα (110/5)*(55/5) = 22*11 =242 ( (32/210) δένδρα όφελος στα 6,05 στρ.!) β) Ν=10 κτήμα 150*15 άρα δένδρα (150/5)*(15/5)=30*3 = 90 ( (32/58=55,17% όφελος στα 2,25 στρ. !!)

Τα Ρομπότ

Εάν πέντε ρομπότ μπορούν να κατασκευάσουν πέντε νέα ρομπότ σε πέντε ώρες, πόσες ώρες θα χρειαστούν εκατό ρομπότ να κατασκευάσουν εκατό νέα ρομπότ; (Κατ.34/579)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_6989.html

Λύση

Λύση του Ν. Λένζου. Πέντε ρομπότ μπορούν να κατασκευάσουν πέντε νέα ρομπότ σε πέντε ώρες Επομένως ένα ρομπότ κατασκευάζει ένα ρομπότ σε πέντε ώρες. Άρα 100 ρομπότ κατασκευάζουν 100 ρομπότ σε πέντε ώρες.

Το Ταξίδι

Βρίσκεστε στην Ιταλία και αναχωρείτε με το αυτοκίνητό σας από την ιστορική πόλη Φλωρεντία με ταχύτητα 120χλμ/ώρα στην κατηφόρα, 80χλμ/ώρα σε ευθεία, και 60χλμ/ώρα στην ανηφόρα, με σκοπό να φτάσετε  στη πόλη Πίζα, για να δείτε τ’ αξιοθέατα,  και να επιστρέψετε την ίδια ημέρα στη Φλωρεντία. Συνολικά κάνετε 6 ώρες για να φτάσετε και 4 ώρες για να επιστρέψετε. Πόσο μακριά είναι οι δύο πόλεις μεταξύ τους; (Κατ.34/Νο.578)

Πηγή:?

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω ότι η ολική απόσταση ανά: κατηφόρα, ευθεία, και ανηφόρα, στο ταξίδι του πηγαιμού προς Πίζα, είναι x, y, και z, αντίστοιχα. Ο χρόνος για να διανυθεί μια απόσταση ,έστω d ,είναι d/v. (v=η ταχύτητα) Έτσι ,για το ταξίδι του πηγαιμού ισχύει: x/120 + y/80 + z/60 = 6 (α) Στο ταξίδι επιστροφής, τα ισιώματα παραμένουν ισιώματα, αλλά οι αρχικές ανηφόρες γίνονται κατηφόρες και αντίστροφα ,άρα έχουμε: x/60 + y/80 + z/120 = 4 (β) Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους, αλλά μας ενδιαφέρει το x+y+z που είναι η απόσταση που ψάχνουμε. Πολλ/ζουμε τις (α) και (β) με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών 120, 80, και 60, που είναι το 240 και έχουμε: 2x + 3y + 4z = 6 * 240 4x + 3y + 2z = 4 * 240 Προσθέτουμε κατά μέλη: 6(x + y + z) = 10*240 άρα: x + y + z = 400 Λύση του Ε. Αλεξίου. Χ η κατηφόρα Υ η ευθεία και Ζ ανηφόρα Χ/120 +Υ/80 +Ζ/60 =6 ώρες από Φλωρεντία πρός Πίζα. Χ/60 +Υ/80 +Ζ/120 =4 ώρες από Πίζα σε Φλωρεντία. Προσθέτω κατά μέλη (Χ/120+Χ/60)+2Υ/80+(Ζ/60+Ζ/120)=10=>3Χ/120 +3Υ/120 +3Ζ/120=10 => (3Χ+3Υ+3Ζ)/120=10 => 3*(Χ+Υ+Ζ)=1200 => Χ+Υ+Ζ = 400 χιλιόμετρα Συνεπώς απέχουν 400 χιλιόμετρα Αφαιρώ κατά μέλη Χ/120-Χ/60 +Ζ/60-Ζ/120=2 => -Χ/120+Ζ/120=2 => Ζ-Χ=240 40/120 +80/80 +280/60 = 6 ώρες 40/60 +80/80 +280/120 = 4 ώρες Λύση του Papaveri. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 400Km. Έστω ότι η διαδρομή από την πόλη Φλωρεντία προς την πόλη Πίζας έχει «x» χιλιόμετρα ανηφόρα, «y» χιλιόμετρα ευθεία , και «z» χιλιόμετρα κατηφόρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος θα έχουμε: x/120+y/80+z/60=6 (1) x/60+y/80+z/120=4 (2) Προσθέτουμε κατά μέλη την (1) και (2) κι’ έχουμε: x/120+x/60=(x +2x)/120=3x/120=x/40 y/80+y/80=2y/80=y/40 z/60+z/120=(2z+z)/120=3z/120=z/40 x/40+y/40+z/40=10 --> x+y+z=10*40 x+y+z=400km = απόσταση των δύο πόλεων.