Σάββατο, 5 Αυγούστου 2017

Το Αγρόκτημα

0σχόλια
Σ’ ένα αγρόκτημα ένας  αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε
είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε
ως εξής:
-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των αριθμών
των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό μεγαλύτερο κατά
120 από τις κότες μου.»
Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και πόσα είχε aπό  το καθ' ένα; (Κατ.34/Νο.686)
Πηγή:?
Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Δευτέρα, 3 Ιουλίου 2017

Οι Δύο Έμποροι *

0σχόλια
Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.
Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:
-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»
Ο δεύτερος τότε του λέει:
-«Όχι, δάνεισε μου  εσύ το 1/7 των χρημάτων σου,  οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»
Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του. (Κατ.34)
* Πρόβλημα του Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο  του «Δεύτερη των  Επιστολών», που γράφτηκε το 1341.

Λύση

Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x+(y/5)=10,000 (1)
y+(x/7)=10.000 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
x+(y/5)=10,000 ---> 5x+y=5*10.000 ----> 5x+y=50.000 (3)
Από την (2) συνάγουμε ότι:
y+(x/7)=10.000 ---> 7y+x=7*10.000 ---> 7y+x=70.000 (4)
Από τη (4) συνάγουμε ότι:
7y+x=70.000 ----> x=70.000-7y (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
5x+y=50.000 ---> 5*(70.000-7y)+y=50.000 ----> 350.000-35y+y=50.000 ---->
34y=350.000-50.000 ---> 34y=300.000 ----> y=300.000/34 ----> y=8.823,53 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:
x=70.000-7y ---> x=70.000-7*8.823,53 ---> x=70.000- 61764,71 ---> x=8.235,29 (7)
Επαλήθευση:
x+(y/5)=10,000 ----> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 ----> 8.235,29+1.764,71=10.000
y+(x/7)=10.000 ---> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 ---> 8.823,53+1.176,47=10.000

Τρίτη, 27 Ιουνίου 2017

Η Πιθανότητα

2σχόλια
Ένας βάτραχος τρώει τρεις μύγες την ημέρα (ας το ονομάσουμε "γεύμα"). Μέχρι να συμπληρώσει το γεύμα του, η πιθανότητα να πιάσει όποια μύγα περάσει από μπροστά του είναι 50%. Μια μύγα είναι έτοιμη να κάνει το μεγάλο τόλμημα, να περάσει από μπροστά του. Ποια είναι η πιθανότητα να την γλυτώσει η μύγα, δεδομένου ότι πέντε μύγες έχουν κάνει ήδη την προσπάθεια; (Κατ.33)

Λύση

Κινδυνεύει στην περίπτωση που στις πέντε μύγες που έχουν περάσει, ο βάτραχος έχει πιάσει 0 ή 1 ή 2 μύγες. Η πιθανότητα αθροιστικά για τα τρία ενδεχόμενα, από τύπο διωνυμικής κατανομής είναι:
P=P0+P1+P2=0.03125+0.15625+0.3125=0.5
Η πιθανότητα να πιαστεί είναι 0.5∗0.5=0.25
Η πιθανότητα να γλυτώσει είναι 1−0.25=0.75
Και ένας “μπακαλίστικος” τρόπος!
Στις πέντε μύγες που έχουν προσπαθήσει, πιθανοτική μαθηματική ελπίδα - έχουν πιαστεί:
5∗0.5=2,5 μύγες.
Άρα το ρίσκο της έκτης μύγας είναι (3−2.5)∗0.5=0.25.
Επομένως γλυτώνει με πιθανότητα:
1−0.25=0.75.

Τρίτη, 16 Μαΐου 2017

Ο Βαθμός

0σχόλια
Σε ένα διαγωνισμό πήραν μέρος 9 άτομα. Όλοι εκτός από 5, πήραν βαθμό 5. Όλοι εκτός από 6, πήραν βαθμό 6. Οι υπόλοιποι πήραν βαθμό 7. Πόσα ήταν τα άτομα που πήραν βαθμό 7; (Κατ.34)

Λύση

Βαθμό 5 πήραν: 9-5=4 μαθητές
Βαθμό 6 πήραν: 9-6=3 μαθητές
Άρα βαθμό 7 πήραν: 9-7=2 μαθητές]

Κυριακή, 7 Μαΐου 2017

Η Τιμή

0σχόλια
Μια παρέα, που αποτελείται από «n» άτομα, παίζει ένα επιτραπέζιο παιγνίδι με τους εξής κανόνες:
(α)Σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα.
(β)Το παιγνίδι ολοκληρώνεται μετά από «n» γύρους.
(γ)Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί τουλάχιστον ένα γύρο.
Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «n».(Κατ.5) 
34η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο Αρχιμήδης», 2017
 Θέμα Νο.4:https://drive.google.com/file/d/0B1wl0ZTW2zvOODk1UmlXOU5XVms/view

Λύση

Αφού σε κάθε γύρο του παιγνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι C(3,2)=(1*2*3)/1*2=3. Επομένως όταν το παιγνίδι ολοκληρωθεί μετά από «n» γύρους θα έχουν παίξει μαζί «3n» δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η συνθήκη «γ», της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή, να έχουν παίξει όλες οι δυάδες παικτών μαζί ένα γύρο, πρέπει το «3n» να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι C(n,2). Δηλαδή, πρέπει να είναι:
C(n,2) μικρότερο ή ίσο με 3n <=> [n*(n-1)]/2 μικρότερο ή ίσο με 3n <=> (n-1)/2≤3 <=> n μικρότερο ή ίσο με 7
Στη συνέχεια θ’ αποδείξουμε ότι η τιμή n=7 είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους κανόνες του προβλήματος. Πράγματι, για n=7 έχουμε:
C(n,2) ---> C(7,2)=7!/(2!*5!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*1*2*3*4*5)=(6*7)/(1*2) ---> 42/2=21=3*7
Εάν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, και Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να πραγματοποιηθούν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σ’ ένα τουλάχιστον γύρο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη του προβλήματος. Μια λύση δίνουν οι κατωτέρω τριάδες:
(Α,Β,Γ), (Α,Δ,Ε), (Α,Ζ,Η), (Β,Δ,Η), (Β,Ε,Ζ), (Γ,Δ,Ζ), και (Γ,Ε,Η) ο. ε. δ.

Σάββατο, 6 Μαΐου 2017

Οι Τιμές

2σχόλια
Οι αριθμοί 2.015 και 757 διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό «x» δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 17. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του «x»; (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74.
2015=χ*κ+17 =>2015-17=χ*κ =>χ*κ=1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
757=χ*λ+17 =>757-17=χ*λ =>χ*λ=740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5(2)
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
2015-757=χ*(κ-λ) =>χ*(κ-λ)=1258=(2*37)*17=74*17 (3)
Από τις (1),(2) και (3) προκύπτει ότι κοινοί διαιρέτες, μεγαλύτεροι του 17, των αριθμών 1998,740 και 1258 είναι οι 37 και 74, άρα χΕ{37,74}.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι δυνατές τιμές του «x» είναι 37 και 74. Σύμφωνα με τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης Δ=δ*π+υ έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
x*π1+17=2.015 ---> x*π1=1.998(1)
x*π2+17=757 ---> x*π2=740 (2)
Επειδή το «x» είναι κοινός διαιρέτης των αριθμών 1.998 και 740 έχουμε:
1998=2*(3^3)*37=(2*37)*(3^3)=74*(3^3)(1)
740=2*2*5*37=(2*37)*2*5=74*2*5 (2)
Άρα 1.998=2*3^3*37 και 740=2^2*5*37
Οι κοινοί διαιρέτες των αριθμών 1.998 και 740 είναι οι: 1, 2, 37, 74
Επειδή το υπόλοιπο είναι μικρότερο του διαιρέτη ("υ" μικρότερο του "x"),θα πρέπει ο διαιρέτης να είναι μεγαλύτερος του 17 ("χ" μεγαλύτερος του 17)
Άρα ο διαιρέτης ισούται με x=37 ή 74.

Οι Ηλικίες

2σχόλια
Οι μαθητές μιας τάξης σε κάποιο σχολείο ρώτησαν τον καθηγητή τους:
-«Κύριε καθηγητά,  πόσων ετών είστε και ποια είναι η ηλικία των παιδιών σας;»
Ο καθηγητής δεν έχασε την ευκαιρία, για να τους προβληματίσει, τους είπε:
-«Εάν πολλαπλασιάστε την ηλικία που είχα πριν 5 χρόνια με την ηλικία που θα έχω μετά από 5 χρόνια, το γινόμενο ισούται με 1.200. Όσον αφορά την ηλικία των δύο παιδιών μου, αυτά είναι δίδυμα. Εάν πολλαπλασιάστε ή προσθέσετε τις ηλικίες τους θα βρείτε τον ίδιο αριθμό.» (Κατ.34)
Πηγή:Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.9, σελ.102, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Η ηλικία του καθηγητή είναι 35 ετών και των παιδιών του 2 ετών το καθ’ ένα αφού είναι δίδυμα. Έστω «α» η ηλικία του καθηγητή, Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α)Για την ηλικία του καθηγητή:
(α-5)*(α+5)=1.200 (1)
α^2-5α+5α-25=1.200 ---> α^2=1.200+25 ---> α^2=1.225
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
α^2=1.225 ---> ---> α=35 (2)
Επαλήθευση:
(α-5)*(α+5)=1.200 ---> (35-5)*(35+5)=1.200 ---> 30*40=1.200 - ο.ε.δ.
β)Για την ηλικία των παιδιών του:
Έστω «β» η ηλικία έκαστου παιδιού και «ω» η εμφάνιση του ίδιου αριθμού της ηλικίας λόγω του ότι είναι δίδυμοι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
ω=β*β (1)
ω=β+β (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
ω=β*β ---> ω=β^2 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
ω=β+β ---> β^2=2β ---> (β^2)/β=2 ---> β=2 (4)
Επαλήθευση:
ω=β*β ---> ω=2*2 ---> ω=4
ω=β+β ---> ω=2+2 ---> ω=4 - ο.ε.δ.

Παρασκευή, 5 Μαΐου 2017

Οι Αριθμοί των Σελίδων

2σχόλια
Ο καθηγητής των μαθηματικών πρότεινε στους μαθητές του να λύσουν ορισμένες ασκήσεις για να εμπεδώσουν την ενότητα που διδάχθηκαν.
Οι μαθητές ρώτησαν τον καθηγητή:
-«Σε ποια σελίδα του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;»
Ο καθηγητής τους απάντησε:
-«Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες που το γινόμενο των αριθμών των δύο
αντικριστών σελίδων ισούται με 506.»
Σε ποιες σελίδες του βιβλίου των μαθηματικών βρίσκονται οι ασκήσεις;(Κατ.34)
Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ.6, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Λύση του Voulagx.
Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23. Οι αριθμοί των αντικριστών σελίδων είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Έστω «χ» και «χ+1» οι αριθμοί των σελίδων. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
χ*(χ+1)=506 ---> χ^2+χ-506=0 (1)
χ=(-1+sqrt(1+4*506))/2, αρνητική ρίζα, οπότε απορρίπτεται.
χ=(-1+sqrt(1+2024))/2=(-1+sqrt(2025))/2=(-1+sqrt(81*25))/2
χ=(-1+9*5)/2=(-1+45)/2=44/2=22.
Λύση του Θεματοδότη.
Οι ασκήσεις βρίσκονται στις σελίδες 22 και 23 του βιβλίου των μαθηματικών. Έστω «α» ο ένας αριθμός της σελίδας και (α+1) ο άλλος αριθμός της σελίδας. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
α*(α+1)=506 ---> α^2+α=506 ---> α^2+α-506=0 (1)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α ---> x=[-1±sqrt[(1)^2-4*1*(-506)]/2*1 --->
x=[-1±sqrt[1+2.024]/2 ---> x=[-1±sqrt[2.025]/2 ---> x= (-1±45)/2
x1= (-1+45)/2 ---> x1=44/2 ---> x1=22
x2= (-1-45)/2 ---> x2= -46/2 ---> x2= -23 αρνητική ρίζα, οπότε απορρίπτεται.
Δεκτή μόνο η ρίζα «x1».
Αντικαθιστούμε την τιμή του «x1» στην (1) κι’ έχουμε:
α*(α+1)=506 ---> 22*(22+1)=506 ---> 22*23=506 ο.ε.δ.

Πέμπτη, 4 Μαΐου 2017

Τα Βιβλία

11σχόλια
Ο Πυθαγόρας αγόρασε μία βιβλιοθήκη. Στη βιβλιοθήκη χωράνε περισσότερα από 50 βιβλία και λιγότερα από 90. Τα βιβλία που θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη είναι 3 περισσότερα από ένα πολλαπλάσιο του 5 και 2 λιγότερα από ένα πολλαπλάσιο του 6.
Ζητούμενα:
(α) Να βρείτε πόσα βιβλία θα τοποθετήσει ο Πυθαγόρας στη βιβλιοθήκη.
(β) Αν ένα από τα ράφια της βιβλιοθήκης χωράει 3 βιβλία, μπορεί ο Πυθαγόρας να τοποθετήσει όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη και να αφήσει κενό αυτό το ράφι; (Κατ.34)
Πηγή:https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDODd0WjFPZjZLM1E/view
Πηγή:7ος ΤΟΠΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ «ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» Α΄ Γυμνασίου 12 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2016

Λύση

(A)Λύση του Voulagx
(α)Με αυτά τα δεδομένα το πρόβλημα επιδέχεται δυο λύσεις: 58 και 88.
χ=5ω+3=6φ-2 ---> 5(ω+1)=6φ ---> 5(ω+1-φ)=φ
Το «φ» είναι πολλαπλάσιο του 5. Έστω (φ=5κ), οπότε έχουμε:
90 μεγαλύτερο του (χ=6*5κ-2) μεγαλύτερο του 50 --->92 μεγαλύτρο του (30κ) μεγαλύτερο του 52
92/30 μεγαλύτερο του (κ) μεγαλύτερο του 52/30 --->3,06 μεγαλύτερο του (κ) μεγαλύτερο του 1,73
Συνεπώς: κΕ{2,3}.
Για κ=2: χ=30*2-2=58 βιβλία.
Για κ=3: χ=30*3-2=88 βιβλία.

(β) Όχι ο Πυθαγόρας δεν μπορεί ν’ αφήσει το ράφι που χωράει τρία βιβλία κενό, διότι τα ράφια της βιβλιοθήκης είναι 5 με χωρητικότητα 17 και 11 βιβλία αντίστοιχα με την περίπτωση:
(α) 88-3=85=17*5
(β) 58-3=55=11*5
οπότε τα 3 βιβλία που περισσεύουν θα τοποθετηθούν στο μικρό ράφι που χωράει 3 βιβλία.
(B)Λύση της Ε.Μ.Ε. - Παράρτημα Ροδόπης
https://drive.google.com/file/d/0Bw22VI38b4XDZlltbjB4d254Tm8/view

Δευτέρα, 1 Μαΐου 2017

Οι Πόντοι

2σχόλια
Στους τελευταίους τρεις αγώνες μπάσκετ ο Αλέξης σημείωσε κατά μέσο όρο 21 πόντους. Εάν στον πρώτο αγώνα, από τους τρεις, σημείωσε 22 πόντους και στον τρίτο αγώνα, από τους τρεις σημείωσε 25 πόντους, πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις; (Κατ.34)
Πηγή:11ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός "ΠΑΙΧΝΙΔΙ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ" Ε΄ και ΣΤ΄ Δημοτικού του περιοδικού "Ο ΜΙΚΡΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" (ΣΤ΄ Δημοτικού)

Λύση

Ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους. Έστω «α» οι πόντοι που σημείωσε στο πρώτο αγώνα, «β» οι πόντοι που σημείωσε στο δεύτερο αγώνα, και «γ» οι πόντοι που σημείωσε στο τρίτο αγώνα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος συνάγουμε το εξής συμπέρασμα:
Οι 21 πόντοι αποτελούν τον μέσο όρο των συνολικών πόντων που σημείωσε ο Αλέξης στους τρεις τελευταίους γύρους, οπότε έχουμε την εξίσωση:
(α+β+γ)/3=21 (1)
Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» με τους δεδομένους πόντους, από την εκφώνξση του προβλήματος, που σημείωσε στον πρώτο και τρίτο αγώνα και βρίσκουμε πόσους πόντους σημείωσε στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις.
(α+β+γ)/3=21 ---> (22+β+25)/3=21 ---> (47+β)/3=21 47+β=21*3 ---> 47+β=63 ---> β=63-47 ----> β=16 (2)
Επαλήθευση:
(α+β+γ)/3=21 ----> (22+16+25)/3=21 ----> 63/3=21 ο.ε.δ.
Άρα ο Αλέξης σημείωσε 16 πόντους στον δεύτερο αγώνα από τους τρεις τελευταίους.

Κυριακή, 30 Απριλίου 2017

Πάσχα 2017!!

0σχόλια
*      Ελληνικά: "Χριστός Ανέστη!"
*      Λατινικά: "Christus resurrexit! Resurrexit vere!"
*      Ιταλικά: "Gesù Cristo è risorto! È veramente risorto!"
*      Αγγλικά: "Christ is Risen! Truly He is Risen!" or
*      Αγγλικά:"Christ is Risen! He is Risen indeed!"
*      Γαλλικά: "Le Christ est ressuscité! Il est vraiment ressuscité!"
 * * * * * * * * * 
Χριστός Ανέστη! Η ιστοσελίδα «Papaveri1948” εύχεται σε όλους Χρόνια Πολλά! Είθε, ο Αναστημένος Χριστός να μας βοηθήσει να ξεπεράσουμε την οικονομική κρίση, στην οποία έχουμε περιέλθει, και να ζήσουμε καλύτερες ημέρες!

Σάββατο, 29 Απριλίου 2017

Οι Αριθμοί

4σχόλια
Το γινόμενο δύο αμοιβαίων κατοπτρικών αριθμών, (όπου ο ένας προκύπτει από την αντιστροφή της σειράς των ψηφίων του άλλου), ισούται με 92.565. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;
Διευκρίνιση:
*Παλινδρομικός ή καρκινικός, ή κατοπτρικός αριθμός καλείται ο αριθμός που δηλώνει την παλινδρομική ή καρκινική, ή κατοπτρική όμοια εκφορά του αριθμού, από την αρχή προς το τέλος και από το τέλος προς την αρχή π.χ. ο αριθμός 838 είναι παλινδρομικός ή καρκινικός ή κατοπτρικός. (Κατ.34)
Πηγή:Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 2ος, πρβ.50, Σελ.37)

Λύση

Λύση του Voulagx
Μετατρέπουμε τον αριθμό 92.565 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι' έχουμε:
92565=3^2*5*11^2*17=(3*5*11)*(3*11*17)=165*561
Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ο 165 και ο 561.

Παρασκευή, 28 Απριλίου 2017

Σκαμνιά και Πολυθρόνες

5σχόλια
Σ’ ένα δωμάτιο υπάρχουν μερικά σκαμνιά με τρία  πόδια και μερικές πολυθρόνες. με τέσσερα πόδια. Όταν σε κάθε σκαμνί και σε κάθε πολυθρόνα κάθεται ένας άνθρωπος, το συνολικό πλήθος των ποδιών στο δωμάτιο είναι 39. Πόσα σκαμνιά και πόσες πολυθρόνες υπάρχουν στο δωμάτιο; (Κατ.34)
Πηγή: Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1ος, πρβ.57, Σελ.42)

Λύση

Λύση του Voulagx
Έστω ότι υπάρχουν «χ» σκαμνιά και «ψ» πολυθρόνες, όπου (χ,ψ) φυσικοί αριθμοί. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα έχουμε:
3χ+4ψ+2(χ+ψ)=39 --->2χ+4ψ+2χ+2ψ=39 ---> 5χ+6ψ=39 ---> 5χ=39-6ψ (1)
χ=(39-6ψ)/5 ---> χ=(40-1-6ψ)/5 ---> χ=40/5-(1+6ψ)/5 ---> χ=8-(1+ψ+5ψ)/5 ---> χ=8-5ψ/5-(1+ψ)/5 ---> χ=8-ψ-(1+ψ)/5 (2)
Πρέπει το (1+ψ) να είναι πολλαπλάσιο του 5, δηλ. 1+ψ=5κ (3)
Από την (1) έχουμε:
39-6ψ>0 ---> 39>6ψ ---> 39/6=6,5>ψ ---> 7,5>1+ψ=5κ ---> 7,5/5=1,5>κ
Άρα κ=1 (ο μόνος φυσικός μικρότερος του 1,5).
Oπότε η (3) γίνεται:
1+ψ=5 => ψ=4
Και αντικαθιστώντας τη τιμή του «ψ» στη (2) έχουμε:
χ=8-4-(1+4)/5=4-1=3 ---> χ=3
Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Τραπεζάκια για τους καφέδες δεν έχουμε για να μην μπλέξουμε τα πόδια.
Λύση του θεματοδότη
Στο δωμάτιο υπάρχουν 3 σκαμνιά και 4 πολυθρόνες. Έστω «Σ» τα σκαμνιά και «Π» οι πολυθρόνες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
5Σ+6Π=39 (1)
(α) Σ = Σκαμνί και Άνθρωπος= 3+2=5 πόδια.
(β) Π = Πολυθρόνα και Άνθρωπος=4+2=6 πόδια.
5Σ+6Π=39 ---> 5Σ=39-6Π ---> Σ=(39-6Π)/5 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "Π" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "Σ" είναι ο αριθμός Π=4
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «Π» στη (2) κι’ έχουμε:
Σ=(39-6Π)/5 ---> Σ=(39-6*4)/5 ---> Σ=(39-24)/5 ---> Σ=15/5 ---> Σ=3
Επαλήθευση:
5Σ+6Π=39 ---> [(5*3)+(6*4)]=39 ---> 15+24=39  ο. ε. δ.

Σάββατο, 22 Απριλίου 2017

Τα Μυρμήγκια

4σχόλια
Σε μια κοινότητα μυρμηγκιών, εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 8 μυρμηγκιών δεν  περισσεύει κανένα μυρμήγκι, ενώ εάν τα χωρίσεις σε ομάδες των 6 ή 7 μυρμηγκιών περισσεύουν 4.μυρμήγκια. Από πόσα μυρμήγκια αποτελείται αυτή η κοινότητα, εάν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότερα από 60 και λιγότερα από 100; (Κατ.5)

Λύση

Τα μυρμήγκια είναι 88. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο «Ν». Από τη σειρά των αριθμών 6 και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.(6,7) =6*7=42
Συνεπώς ο (Ν-4) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 42:
(Ν-4)=42, (Ν-4)=84, (Ν-4)=126, …, (Ν-4)=∞. Και Ν=(Πολλαπλάσιο+4), δηλαδή Ν=42+4=46, Ν=84+4=88, Ν=126+4=130, …, Ν= ∞+4= ∞.
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος, διαλέγουμε το πολλα-πλάσιο που βρίσκεται μεταξύ του 60 και του 100, που είναι το 84.
Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι:
Ν=(Πολλαπλάσιο+4) ----> Ν=84+4 ---> Ν=88
Επαλήθευση:
88mod6=4 ---> 88:6=6*14+υπ.4=84+4=88
88mod7=4 ---> 88:7=7*12+υπ.4=84+4=88
88mod8=0 ---> 88:8=8*11+υπ.0=88+0=88

Σάββατο, 15 Απριλίου 2017

ΠΑΣΧΑ 2017!!

0σχόλια
"Η προσαγωγή του Χριστού ενώπιον του Πιλάτου,
όπου καταδικάζεται σε σταυρικό θάνατο."
Η ιστοσελίδα του "Papaveri48" εύχεται σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας Καλή Ανάσταση και Καλό Πάσχα!!

Τετάρτη, 12 Απριλίου 2017

Οι Χωρικοί και τ' Αυγά

2σχόλια
Δυο χωρικοί έφεραν στην λαϊκή αγορά συνολικά 100 αυγά για να τα πουλήσουν. Ο ένας όμως είχε περισσότερα αυγά από τον άλλο. Και οι δύο όμως, αφού πούλησαν τα αυγά τους, πήραν τα ίδια χρήματα.
Ο πρώτος χωρικός είπε στο δεύτερο:
-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα 15 σακιά πίτουρα».
Ο δεύτερος χωρικός του απάντησε:
-«Αν είχα τα αυγά σου θα έπαιρνα  6 και  2/3 σακιά πίτουρα».
Πόσα αυγά είχε ο καθένας από τους χωρικούς; (Κατ.34)

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη
Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β=100(1)
Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:
α*x ευρώ
Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:
(100-α)*ψ ευρώ
Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:
α*x=(100-α)*ψ (2)
Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:
(100-α)*χ=15*κ ----> x=15*κ/(100-α) (3)
Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:
α*ψ=(20*κ)/3 ---> ψ=(20κ)/3*α (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α*x=(100-α)*ψ ---> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α --->3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ
Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:
3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ --->
45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 --->
45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 --->
45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 ---> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 --->
25α^2+4.000α-200.000=0
Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:
25α^2+4.000α-200.000=0 ---> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 ---> α^2+160α-8.000=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:
α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —>
α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —> α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2
α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)
α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)
Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=100 ---> 40+β=100 β=100-40 ---> β=60 (7)
Επαλήθευση:
α+β=100 ---> 40+60=100 ο. ε. δ.
Σημείωση:
Από τη λύση δεν προσδιορίζεται η τιμή πώλησης του ενός αυγού από τον κάθε ένα. Απλά προσδιορίζεται μόνο ο αριθμός των αυγών. Οι μόνες λογικές τιμές, με τα σημερινά δεδομένα, που θα μπορούσαμε να αποδεχτούμε, είναι ο πρώτος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς x=0,60€ και ο δεύτερος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς ψ=0,40€.
Από τη (2) βρίσκουμε πόσα χρήματα εισέπραξε ο καθένας από την πώληση των αυγών:
α*x=(100-α)*ψ ---> α*x=60*ψ ---> 40*0,60=60*0,40 ---> 24=60*0,40
Άρα ο καθένας χωρικός εισέπραξε από την πώληση των αυγών του 24€
Και μια πολύ ωραία και σύντομη λύση του φίλου της ιστοσελίδας Voulagx.
Η εξίσωση (2) γράφεται:
α*x=(100-α)*ψ ---> χ/ψ=(100-α)/α (2)
Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (3) και (4) έχουμε:
[(100-α)/α]*[χ/ψ]=45/20=9/4=(3/2)^2
και λόγω της (2):
[(100-α)/α]^2=(3/2)^2
και επειδή αναζητούμε λύσεις στο σύνολο των ρητών θετικών αριθμών θα έχουμε:
(100-α)/α=3/2 ---> 200-2α=3α ---> 200=5α ---> α=40
άρα β=100-40=60.

Κυριακή, 2 Απριλίου 2017

Οι Κάρτες

0σχόλια
Ο Παναγιώτης έπαιξε από δύο παρτίδες ενός παιχνιδιού µε κάρτες, µε καθέναν από τους φίλους του Αντώνη, Δημήτρη, και Γιώργο. Πρώτα έπαιξε µε τον Αντώνη διπλασιάζοντας τις κάρτες του στην πρώτη παρτίδα, ενώ στη δεύτερη έχασε 25 κάρτες. Στη συνέχεια, παίζοντας µε το Δημήτρη, αρχικά τριπλασίασε τις κάρτες που είχε και μετά έχασε 15 κάρτες. Τέλος, στην πρώτη παρτίδα µε το Γιώργο, κέρδισε 50 κάρτες, αλλά στη δεύτερη έχασε 33. Μετά το τέλος των παρτίδων ο Παναγιώτης είχε 197 κάρτες. Με πόσες κάρτες ξεκίνησε να παίζει; (Κατ.34)

Λύση

Ο Παναγιώτης ξεκίνησε να παίζει με 45 κάρτες. Έστω «x» οι κάρτες που είχε στην αρχή ο Παναγιώτης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:
Διπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη:2χ.
β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Αντώνης:
Ο Παναγιώτης χάνει 25 κάρτες:(2χ-25).
α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρης:
Τριπλασιασμός των καρτών του Παναγιώτη που είχε μετά τη δεύτερη παρτίδα με τον Αντώνη:
3*(2χ-25).
β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης –Δημήτρη:
Ο Παναγιώτης χάνει 15 κάρτες: [3*(2χ-25)-15]
α)Πρώτη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:
Ο Παναγιώτης κερδίζει 50 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50]
β)Δεύτερη Παρτίδα: Παναγιώτης – Γιώργος:
Ο Παναγιώτης χάνει 33 κάρτες: [3*(2χ-25)-15+50-33].
Μετά τ’ ανωτέρω αποτελέσματα είχε 197 κάρτες, οπότε έχουμε την εξίσωση:
[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> 6x-75 -15+50-33=197 -->
6x=197+75+15-50+33 --> 6x=320-50 --> 6x=270 --> x=270/6 --> x=45
Επαλήθευση:
[3*(2x-25)-15+50-33]=197 --> [[3*(2*45)-25]-15+50-33]=197 -->
[[(3*(90-25]-15+50-33]=197 --> [(3*65)-15+50-33]=197 --> 195-15+50-33=197

Παρασκευή, 31 Μαρτίου 2017

Το Γινόμενο των Ηλικιών ΙΙ

3σχόλια
Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041. Να βρεθούν:
(α) Οι ηλικίες των παιδιών.
(β)Η ηλικία της μητέρας.
(γ) Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;
Διευκρίνιση:
Η διαφορά στο πρόβλημα (ΙΙ) από το πρόβλημα (Ι) έγκειται  στην πρόταση (γ) εν σχέσει με την πρόταση (ii) στο πρόβλημα (Ι). Βλέπε εδώ:
(Κατ.34)
Πηγή: 5ος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ο Επιμενίδης», Α΄ Γυμνασίου 29-10-2016

Λύση

Λύση του Voulagx.
http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf
Συμφωνα με τα Κριτηρια Δαιρετοτητας του ανωτερω λινκ, εχουμε:
α=41041=10*4104+1
Α)Διαιρετοτητα δια του 7:
4104-2*1=4102
410-2*2=406
40-2*6=28=4*7=πολλ7 άρα: 7/41041
Β)Διαιρετοτητα δια του 11:
4*(-1)^5+1*(-1)^4+0*(-1)^3+4*(-1)^2+1*(-1)^1=-4+1-0+4-1=0=πολλ11 άρα: 11/41041
Γ)Διαιρετοτητα δια του 13:
4104-9*1=4095
409-9*5=364
36-9*4=36-36=0=πολλ9 άρα:13/41041
Συνεπως: 7*11*13/41041 και: 7*11*13*χ=41041 <=> χ=41041/(7*11*13)=41041/1001=41
Προφανως η ηλικια της μητερας ειναι 41 και των παιδιων 7,11 και 13.
Εστω οτι πριν απο χ χρονια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Τοτε:
(41-χ)=(13-χ)(11-χ)(7-χ), 0 μικρότερο χ μικρότερο 7
η εξισωση επαληθευεται για: χ=6.

Λύση του θεματοδότη.
Πριν 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας. Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
41.041=7*11*13*41
Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι:
(α) 7 ετών, 11 ετών, και 13 ετών αντιστοίχως.
(β)Και της μητέρας η ηλικία είναι: 41 ετών.
(γ) Έστω ότι πριν από «y» χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Πριν «y» χρόνια ήταν:
Ηλικία μητέρας: (41–y)
Ηλικίες παιδιών: (7–y), (11–y), και (13–y) αντίστοιχα.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) (1)
(41–y) = -y^3+31*y^2–311*y+1.001
y^3–31*y^2+310*y–960=0
(y–6)*(y^2–25*y+160)=0
(y–6) = 0 ή (y^2–25*y+160)=0 (αδύνατη, διότι έχει Δ = -15 < 0)
Άρα: y=6
Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Επαλήθευση: Πριν 6 χρόνια ήταν:
Ηλικία μητέρας: 41–6 = 35 ετών
Ηλικίες παιδιών: 7–6=1έτους, 11–6=5ετών, και 13–6=7ετών αντίστοιχα και το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 1*5*7 = 35
Επαλήθευση:
(41–y) = (7–y)*(11–y)*(13–y) ---> 41-6=(7-6)*(11-6)*(13-6) ---> 35=1*5*7 ο.ε.δ.

Πέμπτη, 30 Μαρτίου 2017

Ο Βαθμός

2σχόλια
Ο Κώστας στο μάθημα των μαθηματικών θα διαγωνιστεί σε τέσσερα διαγωνίσματα των 100 βαθμών το καθένα. Έθεσε ως στόχο να συγκεντρώσει μέσο όρο τουλάχιστον 95 βαθμούς. Στα δύο πρώτα διαγωνίσματα συγκέντρωσε 97 μονάδες στο πρώτο και 91 μονάδες στο δεύτερο. Όταν είδε το βαθμό του τρίτου διαγωνίσματος επιβεβαιώθηκε ότι υπήρχαν ακόμα περιθώρια  για να φτάσει στο στόχο του. Ποιος θα μπορούσε να ήταν ο πιο χαμηλός βαθμός του 3ου διαγωνίσματος; (Κατ.34)
Πηγή: Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία για Α΄ Γυμνασίου 2013-2014

Λύση

Λύση του Voulagx
Εστω χ και ψ οι βαθμοι στα δυο τελευταια διαγωνισματα. Τοτε:
(97+91+χ+ψ)/4>=95
(97+91)/4+(χ+ψ)/4>=95
188/4+(χ+ψ)/4>=95
47+(χ+ψ)/4>=95
(χ+ψ)/4>=95-47
(χ+ψ)/4>=48
χ+ψ>=48*4
χ+ψ>=192
Πρεπει να βαθμολογηθηκε για 92 στο τριτο διαγωνισμα, αν γραψει για 100 στο τεταρτο διαγωνισμα θα εχει πετυχει τον στοχο του.

Λύση του Θεματοδότη
Ο πιο χαμηλός βαθμός του τρίτου διαγωνίσματος πρέπει να είναι 92 μονάδες.
Το άθροισμα όλων των γραπτών πρέπει να είναι:
95*4=380 μονάδες.
Αφού στα δύο πρώτα έγραψε 97 και 91, άρα στα άλλα δύο πρέπει να γράψει: 380−97−91=192 μονάδες.
Ο πιο ψηλός βαθμός στο 4ο διαγώνισμα είναι το 100, άρα ο πιο χαμηλός βαθμός που μπορεί να πάρει στο 3ο διαγώνισμα είναι:
192−100=92 μονάδες.

Δευτέρα, 27 Μαρτίου 2017

Οι Ομάδες

2σχόλια
Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα; (Κατ.34)
Πηγή:Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Λύση

Λύση του Voulagx.
Εστω ν=2κ αρτιος ο αριθμος των ομαδων. Καθε ομαδα παιζει: 2(ν-1)=2(2κ-1) αγωνες, που ειναι και ο αριθμος των αγωνιστικων ημερων. Καθε αγωνιστικη ημερα διεξαγονται: ν/2=κ αγωνες, αρα ο αριθμος των αγωνων ολου του πρωταθληματος ειναι: κ[2(2κ-1)]. Συνεπως:
κ[2(2κ-1)]=240 <=> κ(2κ-1)=120 <=> 2κ^2-κ-120=0
απ' οπου προκυπτει: κ=8 αρα: ν=2*8=16 ο αριθμος των ομαδων.

Σάββατο, 25 Μαρτίου 2017

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

4σχόλια
Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτόπουλα . Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων.
Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα; (Κατ.34)

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.
(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.
Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.
Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes