Δευτέρα, 27 Μαρτίου 2017

Οι Ομάδες

0σχόλια
Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα; (Κατ.34)
Πηγή:?

Λύση

Κείμενο που θα κρύβεται.

Σάββατο, 25 Μαρτίου 2017

Ένα Παλιό Ρωσικό Πρόβλημα

4σχόλια
Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη αδελφή είχε 10 κοτόπουλα, η δεύτερη αδελφή είχε 16 κοτόπουλα, και η τρίτη αδελφή είχε 26 κοτόπουλα . Πούλησαν ένα μέρος από τα κοτόπουλα με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας κάθε αδελφή εισέπραξε 35 ρούβλια από την πώληση των κοτόπουλων.
Με ποια τιμή πούλησαν το ένα μέρος από τα κοτόπουλα το πρωΐ και με ποια τιμή πούλησαν τα υπόλοιπα κοτόπουλα το απόγευμα; (Κατ.34)

Λύση

(α)Το πρωί πούλησαν τα κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια το καθένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε 9 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 33,75 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε 6 κοτόπουλα προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 22,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε 1 κοτόπουλο προς 3,75 ρούβλια και εισέπραξε 3,75 ρούβλια.
(β)Το απόγευμα πούλησαν τα κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια το καθ’ ένα.
Η πρώτη αδελφή πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο προς1,25 ρούβλια και εισέπραξε 1,25 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή πούλησε τα 10 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 12,50 ρούβλια.
Και η τρίτη αδελφή πούλησε τα 25 κοτόπουλα προς 1,25 ρούβλια και εισέπραξε 31,25 ρούβλια.
Η πρώτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 1,25+ 33,75 = 35 ρούβλια.
Η δεύτερη αδελφή εισέπραξε συνολικά 12,5 + 22,5 = 35 ρούβλια.
Η τρίτη αδελφή εισέπραξε συνολικά 31,25 + 3,75 = 35 ρούβλια.

Παρασκευή, 24 Μαρτίου 2017

Ο Αριθμός

2σχόλια
Το ανωτέρω σκαληνό τρίγωνο έχει πλευρές ΑΒ=4εκ., ΑΓ=6εκ., και ΒΓ=8εκ. Εάν αυξήσουμε τις πλευρές κατά «x» εκ., τότε το τρίγωνο μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο. Να βρεθεί η τιμή του «x». (Κατ.34)
Πηγή: 
 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.

Σάββατο, 18 Μαρτίου 2017

Ο Δρομέας

3σχόλια
Ένας δρομέας μπορεί να τρέξει από το σημείο «Κ» έως στο σημείο «Λ» και να επιστρέψει στο σημείο «Κ» σ’ ένα ορισμένο χρόνο με σταθερή ταχύτητα 4Km./h. Εάν τρέξει από το σημείο «Κ» προς το σημείο «Λ» με ταχύτητα 3Km./h και επιστέψει από το σημείο «Λ» προς το σημείο «Κ» με ταχύτητα 5Km./h, χρειάζεται 10λεπτά περισ-σότερο για την συνολική διαδρομή. Πόση χιλιόμετρα είναι η διαδρομή «Κ-Λ»; (Κατ.34)
Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.12, πρβ.12,20, σελ.244, εκδ. Σαββάλας.

Λύση

Η διαδρομή είναι 5Km.. Έστω «x» Km. η διαδρομή «Κ-Λ». Ο χρόνος που χρειάζεται ο δρομέας για να διατρέξει τη διαδρομή Κ-Λ-Κ, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι t=2x/4 ---> t=x/2. Για τη διαδρομή Κ-Λ με ταχύτητα 3Km./h ο χρόνος που απαιτείται είναι t=x/3 και για τη διαδρομή «Λ-Κ» με ταχύτητα 5Km./h ο χρόνος που απαιτείται είναι t=x/5. Οπότε έχουμε την εξίσωση:
[(x/3)+(x/5)]=[(x/2+(10/60)] (1)
(5x+3x)/15=(30x+10)/60
8x/15=(30x+10)/60
60*8x=15*(30x+10)
480x=450x+150
480x-450x=150
30x=150
x=150/30
x=5 (2)
Άρα η διαδρομή «Κ-Λ» είναι 5Km.
Επαλήθευση:
[(x/3)+(x/5)]=[(x/2+(10/60)]
[(5/3)+(5/5)]=[(5/2)+(10/60)
[(5/3)+1]=[(5/2)+(1/6)]
(5+3)/3=[[(3*5)+1]/6]
8/3=(15+1)/6
8*6=3*16
48=3*16

Δευτέρα, 13 Μαρτίου 2017

Ο Εργάτης

2σχόλια
Ένας εργάτης συμφώνησε με τον εργοδότη του να πληρώνεται με τον εξής τρόπο:
Για κάθε μέρα εργασίας θα πληρώνεται 48€, ενώ για κάθε μέρα που δεν θα εργάζεται να επιστρέφει 12€ στον εργοδότη.
Μετά από 30 μέρες ο εργοδότης δεν χρωστούσε τίποτα στον εργάτη και ο εργάτης δεν επέστρεψε χρήματα στον εργοδότη. Πόσες ημέρες εργάστηκε ο εργάτης; (Κατ.34)
Πηγή:Quantum:Μαθηματικοί Γρίφοι (Τόμος 1ος, πρβ.6, Σελ.18)

Λύση

Ο εργάτης εργάστηκε 6 ημέρες, δηλαδή το (1/5) των συνολικών ημερών. Έστω «x» οι ημέρες που εργάστηκε ο εργάτης, τότε (30-x) θα είναι οι μέρες που δεν εργάστηκε. Οπότε, 48x € θα χρωστάει ο εργοδότης στον εργαζόμενο, ενώ ο εργαζόμενος θα πρέπει να του επιστρέψει 12*(30-x). Αυτά τα δυο ποσά είναι ίσα μετά από 30 ημέρες, βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
48x = 12*(30-x) (1)
48x = 360-12x ---> 48x+12x = 360 ---> 60x = 360 ---> x =360/60 ---> x = 6 (2)
Άρα ο εργάτης δούλεψε μόνο 6 ημέρες από τις 30 ημέρες που ήταν η συμφωνία.
Επαλήθευση:
48x = 12*(30- x) ---> 48*6=12*(30-6) ---> 288=12*24 ο.ε.δ.
Βάσει της συμφωνίας που έγινε για τη πληρωμή του έχουμε:
Ημέρες που εργάστηκε:.................. 6*48€ =..........288€ (Πληρωμή)
Ημέρες που δεν εργάστηκε: (30-6)*12€ = 24*12€ =-288€ (Επιστροφή)
............................................................Υπόλοιπο: 000€
Από τ’ ανωτέρω συνάγεται ότι δεν χρωστούσε τίποτε ο ένας στον άλλον.

Κυριακή, 12 Μαρτίου 2017

Η Θέση

4σχόλια
Ο Κώστας πήγε στον κινηματογράφο «Αθήναιον» να δει την ταινία «Καζαμπλάνκα». Λόγω της ταινίας υπήρχαν μπροστά στο ταμείο μαζί με το Κώστα 17 άτομα. Μπροστά του υπάρχουν τριπλάσια άτομα απ’ όσα βρίσκονται πίσω του. Ποια είναι η θέση του από την αρχή της σειράς;
Διευκρίνιση:
Η σειρά ξεκινάει από το ταμείο. (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Voulagx
Έστω «ν» ο αριθμός της θέσης του Κώστα, με "1" μικρότερο του "ν" μικρότερο του "17". Τότε:
ν-1=3(17-ν) ---> ν-1=51-3ν ---> 3ν+ν=51+1 ---> 4ν=52 ---> ν=52/3 ---> ν=13
Άρα ο Κώστας βρίσκεται στη 13η θέση.
Επαλήθευση:
ν-1=3*(17-ν) ---> 13-1=3*(17-13) ---> 12=3*4
Λύση του συντονιστή
Ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς. Τα άτομα που περιμένουν στη σειρά χωρίς το Κώστα είναι:
17-1=16 άτομα.
Τα 16 άτομα είναι χωρισμένα σε 4 ίσα μέρη, από τα οποία τα τρία τέταρτα βρίσκονται μπροστά από το Κώστα και το ένα τέταρτο πίσω του. Επομένως μπροστά του βρίσκονται:
16*(3/4)=4*3=12 άτομα.
Άρα ο Κώστας βρίσκεται στην 13η θέση της ουράς που περιμένει στο ταμείο.

Σάββατο, 11 Μαρτίου 2017

Τα Χρήματα

4σχόλια
Ο κ. Ασημάκης μια μέρα αποφάσισε να πάει παρέα με τους φίλους του σε μια ταβέρνα στη γειτονιά του για να θυμηθούν τα παλιά. Αφού παραγγείλανε τα σχετικά, αρχίσανε να συζητάνε και να θυμούνται τα περασμένα πίνοντας, τρώγοντας και τραγουδώντας παλιά τραγούδια. Έτσι πέρασε η ώρα και ο κ. Ασημάκης αποφάσισε να φύγει. Αφού πλήρωσε το λογαριασμό διαπίστωσε ότι είχε στο πορτοφόλι του τόσα λεπτά όσα ήταν τα ευρώ που είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει μετά την πληρωμή του λογαριασμού είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά. (π.χ. αρχικά είχε 12,10€ και μετά την πληρωμή του λογαριασμού έχει 5,12€). Τα οποία αντιστοιχούν στα μισά από αυτά που είχε στην αρχή πριν πληρώσει τον λογαριασμό. Πόσα χρήματα είχε αρχικά; (Κατ.34)

Λύση

Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε στο πορτοφόλι του 99,98€ και μετά τη πληρωμή του λογαριασμού είχε στο πορτοφόλι του 49,99€ που αντιστοιχούν στα μισά χρήματα που είχε αρχικά. Ο κ. Ασημάκης αρχικά είχε α € και β λεπτά μετά την πληρωμή του λογαριασμού είχε (β/2)€ και α λεπτά. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α = 2*(β/2)+1 (1)
β = 2α–100 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
α = 2*(β/2)+1 ---> α= β + 1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε:
α = β+1 ---> α = 2α–100+1 ---> α = 99 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
β = 2α – 100 ----> β=[(2*99)-100] ---> β=198-100 ---> β=98 (5)
Επαλήθευση:
α = 2 *(β/2)+1 ---> α=2*(98/2)+1 ---> α=98+1 ----> α=99
β = 2α–100 ---> [(2*99)-100] ----> β=198-100 ----> β=98
 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes